الفيزياء

الثلاثاء، 30 أبريل 2013

مبدأ التراكيب

مبدأ التراكب في الفيزياء (بالإنجليزية: superposition principle) ينص على أنه في جميع الأنظمة الخطية تكون محصلة تأثيرين أو أكثر عبارة عن مجموع التأثيرين . فإذا كان التأثير Aيحدث الناتج X والتأثير B ينتج الناتج Y فإن التأثيرين (A + B) ينتجان (X + Y).

التراكب هو أحد الشروط الضرورية لاعتبار دالة "دالة خطية". ومن خواص الدالة الخطية أنها تفي بخاصية التراكب بالجمع ، وأن تكون أيضا متجانسة من الدرجة الأولى (يجري عليها الضرب المعتاد scalar multiplication وتعرف بالمعادلة:

$F(x_1+x_2+\cdots)=F(x_1)+F(x_2)+\cdots$ (تراكب)

$F(a x)=a F(x)$

يطبق مبدأ التراكب في الموجات الكهرومغناطيسية وفي البصريات وفي تقنية الاتصلات وفي جمع القوى في الميكانيكا الكلاسيكية وفي الحالات الكمومية ميكانيكا الكم.

رياضياً

يمكن تمثيل التراكب بدالة خطية :

$x(t) = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i x_i(t)}$

حيث يعني الجمع أن دالات أو كميات $x_i(t)$ من نفس النوع يمكن جمعها لتكوين كمية جديدة $x(t)$ . ويعطي المعامل $\alpha_i$ نسبة (تأثير) كل من الكميات المكونة لها .

تنطبق مبدأ التراكب على كثير من الأنظمة ، وعلى المعادلات التفاضلية الخطية. فإذا كان لمعادلة تفاضلية خطية حلين $f_1$ و $f_2$ , فيشكل مجموعهما أيضا حلا $f_1 + f_2$ للمعادلة .

وبصفة عامة :

"إذا كانت $f_1$ حتى $f_n$ حلولا لمعادلة تفاضلية خطية ، فيكون كل مجموع لهذه الحلول أيضا حلا للمعادلة التفاضلية ."

الانتروبي

مصطلح إنتروبي entropy (يعرب أحيانا بكلمة اعتلاج) أصل الكلمة مأخوذ عن اليونانية ومعناها "تحول" . أصبحت الإنتروبيا أو الإنتروبي مصطلحا أساسيا في الفيزياء والكيمياء ضمن قوانين التحريك الحراري في الغازات أو السوائل ، وخاصة بالنسبة للقانون الثاني للثرموديناميك، الذي يتعامل مع العمليات الفيزيائية للأنظمة الكبيرة المكونة من جزيئات بالغة الأعداد ويبحث سلوكها كعملية تتم تلقائيا أم لا. ينص القانون الثاني للديناميكا الحرارية على مبدأ أساسي يقول : أي تغير يحدث تلقائيا في نظام فيزيائي لا بد وأن يصحبه ازدياد في مقدار "إنتروبيته".

يميل أي نظام مغلق إلى التغير أو التحول تلقائيا بزيادة أنتروبيته حتى يصل إلى حالة توزيع متساو في جميع أجزائه، مثل تساوي درجة الحرارة ، وتساوي الضغط ، وتساوي الكثافة وغير تلك الصفات. وقد يحتاج النظام المعزول الوصول إلى هذا التوازن بعضا من الوقت. مثال على ذلك إلقاء قطرة من الحبر الأزرق في كوب ماء، نلاحظ أن قطرة الحبر تذوب وتنتشر رويدا رويدا في الماء حتي يصبح كل جزء من الماء متجانسا بما فيه من حبر وماء، فنقول أن أنتروبة النظام تزايدت. أي أن مجموع إنتروبية نقطة الحبر النقية + إنتروبية الماء النقية تكون أقل من إنتروبية النظام "حبر ذائب في ماء" .

بعد إزالة الحائل يشغل الغاز الحجم بالكامل. وبذلك تزيد إنتروبية النظام : أي زيادة هرجلة الذرات.(تجربة جاي لوزاك).

وقد أصبح للإنتروبيا كأحد الصفات الطبيعية لنظام أهمية من خلال علاقة الإنتروبيا بتحول الطاقة الحرارية إلى شغل ميكانيكي. فنجدها تلعب دورا هاما في تحديد كفاءةآلات ، مثل محرك الاحتراق الداخلي ومحرك الديزل وغيرها.

ولوصف مدلول الإنتروبيا نفترض المثال المذكور أعلاه وهو مثال الماء ونقطة الحبر الذائبة فيه فنجد أن اختلاط نقطة الحبر بالماء سهل ويتم طبيعيا، أما إذا أردنا فصل نقطة الحبر ثانيا عن الماء ليصبح لدينا ماء نقي وحبر نقي فتلك عملية صعبة ولا تتم إلا ببذل شغل. فنقول أن حالة المخلوط له إنتروبيا كبيرة، بينما حالة الماء النقي والحبر النقي فهي حالة يكون أنتروبيتها منخفضة.

وتصادفنا مثل تلك العملية عمليات يومية مثل فصل السكر عن محلول قصب السكر ، إننا نقوم بذلك عن طريق تبخير المحلول ، أي بتسخين المحلول وبذل شغل ، أي بذلطاقة ، لفصل السكر عن الماء.

وأيضا الكمون الكيميائي ضمن أي نظام فيزيائي أو كيميائي يميل تلقائيا إلى خفض الطاقة الداخلية للنظام إلى أقل ما يمكن ، لكي يصل النظام لحالة من التوازن. الإنتروبي ضمن هذا المفهوم هو مقدار تقدم عملية التحول والتوازن هذه.

الانتروبيا في الديناميكا الحرارية

في الترموديناميكا نقوم بوصف التبادل الحراري (تبادل طاقة) بين النظام والوسط المحيط. وتوجد إمكانيتان للتفاعل بين النظام والوسط المحيط ، فإما تستبدل حرارة بينهما أو يستبدل شغل. وعند تبادل الحرارة (طاقة) بينهما يتغير أيضا إنتروبيا النظام وإنتروبيا الوسط المحيط. وعندما يكون مجموع التغير في الإنتروبي لهما موجبا ، أي يصل النظام إلى حالة تكثر فيها حالاته الصغرية microstates عن قبل ذلك , نجد أن تغير الأنتروبي يحدث ذاتيا من نفسه.

[عدل]الحالة الداخلية لنظام

يتعامل القانون الأول للديناميكا الحرارية مع مصطلح الطاقة التي تكون عادة محفوظة ضمن نظام فيزيائي مغلق. في نفس الوقت تُعرف الإنتروبيا على أنها تغير وتحول إلى حالة أكثر فوضوية وهرجلة (مثال انتشار نقطة الحبر في الماء) على المستوى الجزيئي في نظام ، فالتغيرات التلقائية تميل دوما لكسب مزيد من الحرية لحركة الجزيئات أو الذرات. فإذا تخيلنا قارورتين تحتوي كل منهما على غاز غير الآخر وفتحنا بينهما فتحة، نجد أن الغازين يبدآن الانتشار في القارورتين والاختلاط. وبعد فترة من الزمن يصل النظام إلى حالة اتزان وتساو في توزيع الجزيئات ، أي إذا أخذنا أي سنتيمترا مكعبا من مخلوط الغاز من أي مكان في القارورتين فسوف نجد عددا متساويا من نوعي جزيئات الغازين المخلوطين.

ونتصور الآن أننا نريد فصل الغازين المختلطين في مثالنا السابق الذي هو مثال لعملية غير عكوسية ، واستعملنا ملقاطا لذلك ! نجد أنه عمل مضني. فلا يمكن عكس مسار زيادة إنتروبيا النظام إلا بأداء شغل. ونجد علاقة بين الإنتروبيا والشغل.

يُرمز عادة ل الإنتروبيا أو الاعتلاج بالحرف S كأحد المصطلحات الأساسية في التحريك الحراري ، وهي تمثل مقدار الطاقة في النظام الفيزيائي التي لا يمكن استخدامها لإنتاج شغل [1]. وحدة الإنتروبيا هي جول/كلفن ، حيث أن التغير في الإنتروبي : ${\rm d}S = \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} \qquad$ . أي يعادل التغير في مقدار حرارة Q النظام مقسوما على درجة الحرارة T (وذلك عندما تكون عملية التحول عكوسية reversible).

في الترموديناميك تشكل الإنتروبية متغيرا فيزيائيا مهما لوصف نظام ترموديناميكي، إلى جانب درجة الحرارة والحجم والضغط والإنثالبي.

أقر نظام الواحدات الدولي أن وحدة الإنتروبيا هي جول لكل كلفن (J·K⁻¹)، وهي نفس واحدة السعة الحرارية، حيث تعتبر الإنتروبية مرافقة conjugate لدرجة الحرارة.

قانون كولوم

قانون كولوم في الفيزياء يعطى العلاقة بين القوة الكهربائية ومقدر هذه الشحنات الكهربية والمسافة بينهما، توصل إليه العالم الفرنسى شارل كولوم (1736-1806 عام 1795، وهو ضرورى لتطوير نظرية الكهرومغناطيسية.

نص قانون كولوم

"تؤثر شحنتان نقطيتان ساكنتان ببعضهما في الخلاء بقوتين متعاكستين محمولتين على الخط الواصل بينهما شدتهما المشتركة تتناسب طردياً مع القيمتين المطلقتين لكل منهما، وعكسياً مع مربع المسافة بينهما".

[عدل]الصيغة الرياضية

$\vec{F}_{12}=k\cdot\frac{q_1 \cdot q_2}{r_{12}^2} \frac{\hat{\vec{r}}_{12}}{r_{12}}$

حيث أن :

$\vec{F}_{12}$ :هي القوة المتبادلة بين الشحنتين بوحدة نيوتن.
$q_1$ :قيمة الشحنة الأولى بوحدة كولوم.
$q_2$ :قيمة الشحنة الثانية بوحدة كولوم.
$\hat{\vec{r}}_{12}$ شعاع الوحدة وقيمته تساوي واحد واتجاهه من الشحنة الأولى إلى الشحنة الثانية.
${r_{12}^2}$ :مربع المسافة بين الشحنتين بوحدة متر تربيع.

[عدل]ملاحظات حول القانون

قيمة الشحنتان تعوض بدون إشارة(يعني الشحنة السالبة تعوض في القانون بدون الإشارة السالبة)
في نهاية الحل وبعد ايجاد قيمة القوة يجب تحديد اتجاه القوة (ما إذا كانت تجاذب ام تنافر) وسيتم توضيح ذالك في جزء لاحق
الوحدات السابقة كانت حسب النظام الدولي للوحدات وتختلف بالنسبة للأنظمة الأخرى.

السقوط الحر

السقوط الحر (بالإنكليزية: Free fall) هو سقوط الجسم باتجاه مركز الأرض من دون التأثير عليه بقوةأخرى غير قوة المكتسبة من الجاذبية الأرضية بتسارع تساوى تقريباً 9.81 م/ث^2 ثابته لكل الأجسام قرب سطح الأرض دون تأثير لكتلتها. يستخدم مصطلح السقوط الحر أيضاً للتعبير عن القفز من طائرة من دون استخدام مظلة.

ومن الأمثلة علي السقوط الحر:

سقوط حجر من أعلي برج.
دوران القمر حول الأرض.

السقوط الحر بحسب قوانين نيوتن

[عدل]مجال جاذبية متماثل بدون مقاومة الهواء

$v(t)=-gt+v_{0}\,$

$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+y_0$

حيث

$v_{0}\,$ السرعة الابتدائية (متر\ثانية).

$v(t)\,$ السرعة اللحظية (م\ثا).

$y_0\,$ الارتفاع الابتدائي (م).

$y(t)\,$ الارتفاع اللحظي (م).

$t\,$ الزمن أو الوقت (s).

$g\,$ التسارع الناتج عن جاذبية الأرض (9.81 م\ثا²).

$y=y_0-\frac{m}{k}\left\{\left(v_{0}+\frac{mg}{k}\right)\left(e^{\frac{-k}{m}t}-1\right)+gt\right\}.$

[عدل]مجال جاذبية متماثل مع تأثير السحب المضطرب

$m\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2} \rho C_D A v^2 - mg,$

حيث

$m\,$ كتلة الجسم,

$g\,$ عجلة الجاذبية,

$C_D\,$ معامل السحب,

$A\,$ مساحة مقطع الجسم العمودية على تدفق الهواء,

$v\,$ سرعة السقوط العمودي,

$\rho\,$ كثافة الهواء

وحل هذه المعادلة (بفرض السقوط من الصفر):

$v(t) = -v_{\infty} \tanh\left(\frac{gt}{v_\infty}\right),$

حيث تعطى السرعة الختامية بالعلاقة:

$v_{\infty}=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_D A}}.$

وبمكاملة السرعة بالنسبة للزمن:

$y = y_0 - \frac{v_{\infty}^2}{g} \ln \cosh\left(\frac{gt}{v_\infty}\right).$

وهذا يفسر سبب ثبات سرعة الاجسام بعد مسافة معينة من سقوطها مهما زاد الارتفاع. مثلا تصبح سرعة سقوط الإنسان النهائية من 50 إلى 250 متر في الثانية اعتمادا على وضعية السقوط وربما كان هذا السبب عاملا ساعد في نجاةفيسنا فولوفيك صاحبة الرقم القياسي العالمي في السقوط من طائرة بدون مظلة.

قانون هابل

قانون هابل في الفلك (بالإنجليزية:Hubble's law) هو قانون في علم الكون ينص على أن السرعة التي تبتعد بها مجرة من المجرات عنا تتناسب تناسبا طرديا مع المسافة بينها وبين الأرض. ^[1]وقد استنبط الفيزيائي والقسيس في نفس الوقت جورج لومتر هذا القانون عن طريق حله ل النظرية النسبية العامة لأينشتاين عام 1927. ^[2] ثم تبعه إدوين هابل عام 1929 وصاغ مثيلا لهذا القانون عن طريق القياس العملي لسرعة المجرات وسمي القانون باسمه "قانون هابل" حيث أنه يستند إلى قياسات عملية. ^[3] وذلك بعد عدة سنوات من الرصد وتسجيل القياسات، وقد استنتجت سرعة ابتعاد المجرات عنا عن طريق قياس مقدار الانزياح الأحمر الذي نجده عند قياس أطياف تلك المجرات. ^[4] وهي تعتبر أول مشاهدة تعتمد على المشاهدة العملية عن طريقالتلسكوبات والتي تبين أن الكون يتمدد وهي أحد الإثباتات المعترف بها في وقتنا الحاضر لحدوث الانفجار العظيم منذ نحو 13.7 مليار سنة ونشأة الكون.

تطورت نظرية الانفجار العظيم من ملاحظات واعتبارات نظرية. الملاحظات الأولى كانت واضحة منذ زمن وهي ان السدم اللولبية spiral nebulae تبتعد عن الأرض، لكن من سجل هذه الملاحظات لم يذهب بعيدا في تحليل هذه النتائج. في عام 1927 قام الكاهن البلجيكي جورج لومتر Georges Lemaître باشتقاق معادلات فريدمان-ليمايتري-روبرتسون-ووكرFriedmann-Lemaître-Robertson-Walker equations انطلاقا من النظرية النسبية العامة لأينشتاين واستنتج بناء على ظاهرة استمرار السدم الحلزونية spiral nebulae في الابتهاد عن مجرتنا، مجرة درب التبانة أن الكون لا بد وأن يكون قد بدأ من انفجار "ذرة بدئية"، وهذا ما دعي لاحقا في الأوساط العلمية ب الانفجار العظيم Big Bang.

وفي عام 1929، أثبت إدوين هابل Edwin Hubble نظرية لومتر بإعطاء دليل رصدي للنظرية. اكتشف هابل أن المجرات تبتعد بعيدا من الأرض في جميع الاتجاهات وبسرعة تتناسب طرديا مع بعدها عن الأرض. هذا ما عـُرف لاحقا باسم قانون هابل. حسب المبدأ الكوني cosmological principle فإن الكون لا يملك إتجاها مفضلا ولا مكانا مفضلا لذلك كان استنتاج هابل أن الكون يتمدد بشكل معاكس تماما لتصور أينشتاين الذي كان يعتقد في كون ساكن static universe.

ثابت هابل

تقدر أحدث القياسات (مارس 2010) ثابت هابل التي حصل عليها تلسكوب هابل الفضائي بواسطة مسبار ويلكينسون لقياس اختلاف الموجات الراديوية(تقدير ديسمبر 2012 (http://arxiv.org/pdf/1212.5225.pdf) ) بـ 3و69 (km/s)/(Mpc ), أي نحو 3و69 كيلومتر في الثانية لكل مليون فرسخ فلكي. (الفرسخ الفلكي = 3,26 سنة ضوئية).

أي أنه إذا كانت مجرة تبعد عن مجرتنا 3و3 مليون سنة ضوئية مثلا فتكون المجرة تبتعد عنا بسرعة 3و69 كيلومتر/ثانية ، أو
لو كانت المجرة تبعد عنا 33 مليون سنة ضوئية فهي تبتعد عنا بسرعة 693 كيلومتر في الثانية.

قانون هوك

في الميكانيكا والفيزياء, قانون هوك للمرونة هو تقريبا يشير إلى أن الكمية التي يتغير بها الجسم (الإجهاد) مرتبطة خطيًا بالقوة المسببة لهذا التغير (الشد). المواد التي ينطبق عليها قانون هوك تقريبًا هي مواد خطية المرونة.

سمى قانون هوك على اسم الفيزيائي الإنجليزي روبرت هوك الذي عاش في القرن السابع عشر. لقد ذكر هذا القانون في 1676 كبديل لاتيني, نشره في 1678 كجملة تعني :

"لزيادة القوة يزيد الامتداد"

من أجل الأنظمة التي يطبق عيها قانون هوك، الامتداد الناتج يتناسب مباشرة مع الحمل:

$\mathbf{F}=k\mathbf{x} \$

حيث :

$\ \mathbf{x}$ هي الفرق في المسافة بين موضع الجسم الجديد وموقعه الأصلي سواء كان مضغوطًا أو ممدودا"الازاحة الحاصلة" (عادة تقاس بالمتر)

$\ \mathbf{F}$ هي قوة الإعادة أو كما يطلق عليها القوه المشوهه للجسم اي معناها ان هذه القوه تغير من ابعاد الجسم ولو وصلت لحد معين قد تسبب تشوه للجسم اي لا يعود لشكله الاصلي قبل ان تؤثر عليه تلك القوه التي تمارسها المادة (عادة تقاس بالنيوتن)

$\ \mathbf{k}$ هو ثابت القوة ووحدته القوة إلى الطول (يقاس بالنيوتن لكل متر)

قانون اوم

قانون أوم هو مبدأ أساسي في الكهرباء، أطلق عليه هذا الاسم نسبة إلى واضعه الفيزيائي الألماني "جورج سيمون أوم".

فقد أجرى أوم تجارب لقياس فرق الجهد الكهربائي المطبق على دوائر كهربائية بسيطة وشدة التيار الكهربائي المار فيها، مع تغيير طول السلك المستخدم فيها. واستنتج بعض المعادلات المعقدة والتي جرى تعديلها حتى وصلت لصورتها البسيطة المبينة لاحقا.

وينص هذا القانون على أن فرق الجهد الكهربائي بين طرفي ناقل معدني يتناسب طرديا مع شدة التيار الكهربائي المار فيه.

$V \propto I$

يتم تعريف النسبة الثابتة بين فرق الجهد وشدة التيار بالمقاومة الكهربائية ويرمز إليها بالحرف اللاتيني R. ويلاحظ أن المقاومة R لناقل ما هي قيمة ثابتة ولا تتغير بتغير فرق الجهد بين طرفيه، ويعبر عن هذا المبدأ من خلال المعادلة التالية:

$\color{green}R = \frac{\color{red}V}{\color{blue}I}$

كما يمكن التعبير عن نفس المعادلة بصيغة أخرى: : $V = R \cdot I$

حيث:

V: هي فرق الجهد الكهربائي بين طرفي الناقل المعدني (المقاومة) ويقاس بوحدة تسمى بالفولت، ويرمز له بالرمز(V).
I: هي شدة التيار الكهرباني المار في الناقل ويقاس بوحدة تسمى بالأمبير، ويرمز له بالرمز (A).
R: هي مقاومة الناقل للتيار وتقاس بوحدة تسمى بالأوم، ويرمز لها بالرمز (Ω).

ويمكن صياغة القانون السابق حسب الوحدات الكهربائية كالتالي: $1\Omega = 1\frac{V}{A}$

[عدل]أصل قانون أوم

نموذج درود (بالإنجليزية:Drude) يبينالإلكترونات (باللون الأزرق) تتحرك باستمرار بين بلورات الأيونات (باللون الأحمر).

توضح نظريات ميكانيكا الكم أن شدة التيار تعتمد على المجال الكهربي. وبهذا يمكن استخدام نموذج درود (بالإنجليزية:Drude) لتفسير قانون أوم. حيث يعامل نموذج درود الإلكترونات (أو أي حاملات للشحنة) كما لو كانت كرات تتحرك (تتصادم) بين الآيونات المكونة لتركيب المادة. وهذه الإلكترونات تتسارع في عكس إتجاه المجال الكهربائي المطبق على المادة. وتتصادم هذه الإلكترونات مع أيونات المادة، ومع كل تصادم تنحرف الإلكترونات بسرعات عالية، وينتج عن ذلك حركة جماعية للإلكترونات في اتجاه يعاكس اتجاه المجال الكهربائي.

سرعة انتقال الإلكترونات تحدد شدة التيار الكهربائي وعلاقته بالجهد E.